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# 42. Bernstein

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## 42.1 Functions and Variables for Bernstein

関数: bernstein_poly (k, n, x)

  `k`が負の整数でないと仮定すると、 Bernstein多項式は `bernstein_poly(k,n,x) = binomial(n,k) x^k (1-x)^(n-k)`で定義されます; 負の整数 `k`に対してはBernstein多項式 `bernstein_poly(k,n,x)`はゼロです。 `k`か `n`のどちらかが非整数の時、オプション変数 `bernstein_explicit`は Bernstein多項式の明示形式への展開を制御します。 例:

      (%i1) load("bernstein")$

      (%i2) bernstein_poly(k,n,x);
      (%o2)                bernstein_poly(k, n, x)
      (%i3) bernstein_poly(k,n,x), bernstein_explicit : true;
                                             n - k  k
      (%o3)            binomial(n, k) (1 - x)      x

  Bernstein多項式は gradefプロパティと integrateプロパティの両方を持ちます:

      (%i4) diff(bernstein_poly(k,n,x),x);
      (%o4) (bernstein_poly(k - 1, n - 1, x)
                                       - bernstein_poly(k, n - 1, x)) n
      (%i5) integrate(bernstein_poly(k,n,x),x);
      (%o5)
                                                                  k + 1
       hypergeometric([k + 1, k - n], [k + 2], x) binomial(n, k) x
       ----------------------------------------------------------------
                                    k + 1

  実数と複素数両方の数値入力に対して Bernstein多項式は数値結果に評価されます:

      (%i6) bernstein_poly(5,9, 1/2 + %i);
                              39375 %i   39375
      (%o6)                   -------- + -----
                                128       256
      (%i7) bernstein_poly(5,9, 0.5b0 + %i);
      (%o7)           3.076171875b2 %i + 1.5380859375b2

  `bernstein_poly`を使うには、最初に `load("bernstein")`。

変数: bernstein_explicit

  デフォルト値: `false`

  `k`か `n`のどちらかが非整数の時、オプション変数 `bernstein_explicit`は Bernstein多項式の明示形式への展開を制御します; 例えば:

      (%i1) bernstein_poly(k,n,x);
      (%o1)                bernstein_poly(k, n, x)
      (%i2) bernstein_poly(k,n,x), bernstein_explicit : true;
                                             n - k  k
      (%o2)            binomial(n, k) (1 - x)      x

  `k`と `n`の両方が明示的に整数の時、 `bernstein(k,n,x)`は いつも明示形式に展開されます。

関数: multibernstein_poly ([k1,k2,…, kp], [n1,n2,…, np], [x1,x2,…, xp])

  多重 Bernstein多項式 `multibernstein_poly ([k1, k2, ..., kp], [n1, n2, ..., np], [x1, x2, ..., xp])`は Bernstein多項式 `bernstein_poly(k1, n1, x1) bernstein_poly(k2, n2, x2) ... bernstein_poly(kp, np, xp)`の積です。

  `multibernstein_poly`を使うには、最初に `load("bernstein")`してください。

関数: bernstein_approx (f, [x1, x1, …, xn], n)

  関数 `(x1, x2, ..., xn) |--> f`の `n`次の一様 Bernstein多項式近似を返します。

  例

      (%i1) bernstein_approx(f(x),[x], 2);
                       2       1                          2
      (%o1)      f(1) x  + 2 f(-) (1 - x) x + f(0) (1 - x)
                               2
      (%i2) bernstein_approx(f(x,y),[x,y], 2);
                     2  2       1                2
      (%o2) f(1, 1) x  y  + 2 f(-, 1) (1 - x) x y
                                2
                        2  2          1   2
       + f(0, 1) (1 - x)  y  + 2 f(1, -) x  (1 - y) y
                                      2
             1  1                               1         2
       + 4 f(-, -) (1 - x) x (1 - y) y + 2 f(0, -) (1 - x)  (1 - y) y
             2  2                               2
                  2        2       1                      2
       + f(1, 0) x  (1 - y)  + 2 f(-, 0) (1 - x) x (1 - y)
                                   2
                        2        2
       + f(0, 0) (1 - x)  (1 - y)

  `bernstein_approx`を使うには、最初に `load("bernstein")`してください。

関数: bernstein_expand (e, [x1, x1, …, xn])

  多項式 `e`を多変数 Bernstein多項式の線形結合として厳密に表します。

      (%i1) bernstein_expand(x*y+1,[x,y]);
      (%o1)    2 x y + (1 - x) y + x (1 - y) + (1 - x) (1 - y)
      (%i2) expand(%);
      (%o2)                        x y + 1

  一番目の引数が多項式でない時 Maximaはエラーをシグナルします。

  `bernstein_expand`を使うには、最初に `load("bernstein")`してください。

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