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# 18. Differentiation

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## 18.1 Functions and Variables for Differentiation

関数: antid (expr, x, u(x))

  ２要素リストを返します。 そのリストから exprの xに関する不定積分(antiderivative)が構成できます。 式 exprは未知の関数 uとその導関数を含むかもしれません。

  ２要素リスト Lが`antid`の戻り値だとします。 `L[1] + 'integrate (L[2], x)`は exprの xに関する不定積分です。

  `antid`が完全に成功した時、戻り値の二番目の要素は0です。 そうでないなら、二番目の要素は0ではなく、一番目の要素は0でないか0かです。 もし `antid`が全く進展できないなら、 一番目の要素が0で、二番目は0ではないです。

  `load ("antid")`はこの関数をロードします。 `antid`パッケージは関数 `nonzeroandfreeof`と `linear`も定義します。

  `antid`は以下のように `antidiff`と関係します。 ２要素リスト Lが `antid`の戻り値とします。 `antidiff`の戻り値は `L[1] + 'integrate (L[2], x)`に等しいです。 ここで xは積分変数です。

  例:

      (%i1) load ("antid")$
      (%i2) expr: exp (z(x)) * diff (z(x), x) * y(x);
                                  z(x)  d
      (%o2)                y(x) %e     (-- (z(x)))
                                        dx
      (%i3) a1: antid (expr, x, z(x));
                             z(x)      z(x)  d
      (%o3)          [y(x) %e    , - %e     (-- (y(x)))]
                                             dx
      (%i4) a2: antidiff (expr, x, z(x));
                                  /
                           z(x)   [   z(x)  d
      (%o4)         y(x) %e     - I %e     (-- (y(x))) dx
                                  ]         dx
                                  /
      (%i5) a2 - (first (a1) + 'integrate (second (a1), x));
      (%o5)                           0
      (%i6) antid (expr, x, y(x));
                                   z(x)  d
      (%o6)             [0, y(x) %e     (-- (z(x)))]
                                         dx
      (%i7) antidiff (expr, x, y(x));
                        /
                        [        z(x)  d
      (%o7)             I y(x) %e     (-- (z(x))) dx
                        ]              dx
                        /

  ·

  Categories: Integral calculus

関数: antidiff (expr, x, u(x))

  exprの xに関する不定積分(antiderivative)を返します。 式 exprは未知の関数 uとその導関数を含むかもしれません。

  `antidiff`が完全に成功した時、 結果の式は積分記号を含みません(すなわち `integrate`名詞を含みません)。 そうでないなら、 `antidiff`は部分的にまたは完全に積分記号内にある式を返します。 もし `antidiff`が全く進展できないなら、戻り値はそっくり積分記号内にあります。

  `load ("antid")`はこの関数をロードします。 `antid`パッケージは関数 `nonzeroandfreeof`と `linear`も定義します。

  `antidiff`は以下のように `antid`と関係します。 ２要素リスト Lが `antid`の戻り値とします。 `antidiff`の戻り値は `L[1] + 'integrate (L[2], x)`に等しいです。 ここで xは積分変数です。

  例:

      (%i1) load ("antid")$
      (%i2) expr: exp (z(x)) * diff (z(x), x) * y(x);
                                  z(x)  d
      (%o2)                y(x) %e     (-- (z(x)))
                                        dx
      (%i3) a1: antid (expr, x, z(x));
                             z(x)      z(x)  d
      (%o3)          [y(x) %e    , - %e     (-- (y(x)))]
                                             dx
      (%i4) a2: antidiff (expr, x, z(x));
                                  /
                           z(x)   [   z(x)  d
      (%o4)         y(x) %e     - I %e     (-- (y(x))) dx
                                  ]         dx
                                  /
      (%i5) a2 - (first (a1) + 'integrate (second (a1), x));
      (%o5)                           0
      (%i6) antid (expr, x, y(x));
                                   z(x)  d
      (%o6)             [0, y(x) %e     (-- (z(x)))]
                                         dx
      (%i7) antidiff (expr, x, y(x));
                        /
                        [        z(x)  d
      (%o7)             I y(x) %e     (-- (z(x))) dx
                        ]              dx
                        /

  ·

  Categories: Integral calculus

関数: at (expr, [eqn_1, …, eqn_n])
関数: at (expr, eqn)

  等式のリスト `[eqn_1, ..., eqn_n]` もしくは１つの等式 eqnの中で指定されたように値を仮定された変数を使って 式 exprを評価します。

  もし値が指定される変数のいずれかに部分式が依存するけれど 指定の`atvalue`がなく他の方法で評価できないなら、 `at`の名詞形を返し、２次元形式で表示します。

  `at`は多重代入を並列に実行します。

  `atvalue`も参照してください。 代入を実行する他の関数に関しては `subst`や `ev`も参照してください。

  例:

      (%i1) atvalue (f(x,y), [x = 0, y = 1], a^2);
                                      2
      (%o1)                          a
      (%i2) atvalue ('diff (f(x,y), x), x = 0, 1 + y);
      (%o2)                        @2 + 1
      (%i3) printprops (all, atvalue);
                                      !
                        d             !
                       --- (f(@1, @2))!       = @2 + 1
                       d@1            !
                                      !@1 = 0

                                           2
                                f(0, 1) = a

      (%o3)                         done
      (%i4) diff (4*f(x, y)^2 - u(x, y)^2, x);
                        d                          d
      (%o4)  8 f(x, y) (-- (f(x, y))) - 2 u(x, y) (-- (u(x, y)))
                        dx                         dx
      (%i5) at (%, [x = 0, y = 1]);
                                               !
                    2              d           !
      (%o5)     16 a  - 2 u(0, 1) (-- (u(x, y))!            )
                                   dx          !
                                               !x = 0, y = 1

  ·

  Categories: Evaluation ·Differential equations

Property: atomgrad

  `atomgrad`は式のアトムの勾配プロパティです。 このプロパティは `gradef`で割り当てられます。

  ·

  Categories: Differential calculus

関数: atvalue (expr, [x_1 = a_1, ..., x_m = a_m], c)
関数: atvalue (expr, x_1 = a_1, c)

  値 cを点 `x = a`の exprに割り当てます。 典型的にはこのメカニズムが境界値を確立します。

  exprは関数引数が明示的に現れる関数評価 `f(x_1, ..., x_m)`か導関数 `diff (f(x_1, ..., x_m), x_1, n_1, ..., x_n, n_m)` です。 n_iは x_iに関する微分の階数です。

  等式のリスト `[x_1 = a_1, ..., x_m = a_m]` はatvalueを確立する点を与えます。 もし１変数 x_1なら、 リストとしてくくることなしに等式１つを与えます。

  `printprops ([f_1, f_2, ...], atvalue)`は 関数 `f_1, f_2, ...`のatvalueを `atvalue`コールで指定されたように表示します。

  `printprops (f, atvalue)`は １関数 fのatvalueを表示します。 `printprops (all, atvalue)`は atvaluesが定義された関数すべての atvalueを表示します。

  atvaluesが表示される時、 シンボル `@1`, `@2`, … は 変数 x_1, x_2, …を表します。

  `atvalue`は引数を評価します。 `atvalue`は c, atvalueそのものを返します。

  例:

      (%i1) atvalue (f(x,y), [x = 0, y = 1], a^2);
                                      2
      (%o1)                          a
      (%i2) atvalue ('diff (f(x,y), x), x = 0, 1 + y);
      (%o2)                        @2 + 1
      (%i3) printprops (all, atvalue);
                                      !
                        d             !
                       --- (f(@1, @2))!       = @2 + 1
                       d@1            !
                                      !@1 = 0

                                           2
                                f(0, 1) = a

      (%o3)                         done
      (%i4) diff (4*f(x,y)^2 - u(x,y)^2, x);
                        d                          d
      (%o4)  8 f(x, y) (-- (f(x, y))) - 2 u(x, y) (-- (u(x, y)))
                        dx                         dx
      (%i5) at (%, [x = 0, y = 1]);
                                               !
                    2              d           !
      (%o5)     16 a  - 2 u(0, 1) (-- (u(x, y))!            )
                                   dx          !
                                               !x = 0, y = 1

  ·

  Categories: Differential equations ·Declarations and inferences

関数: cartan

  微分形式の外積代数はエリーカルタンによって開発された微分幾何の基本ツールであり、 偏微分方程式論で有用な応用があります。 `cartan`パッケージは 演算子 `~` (ウェッジ積)と `|` (形式とベクトルの縮約)と合わせて 関数 `ext_diff`と `lie_diff`を実装します。 例と一緒にこれらのコマンドの簡潔な記述を見るには `demo (tensor)`を実行してください。

  `cartan`は F.B. EstabrookとH.D. Wahlquistによって実装されました。

  ·

  Categories: Differential geometry

関数: del (x)

  `del (x)`は変数 xの微分を表します。

  もし独立変数を指定しないなら、 `diff`は`del`を含む式を返します。 この場合、戻り値は「全微分」と呼ばれるものです。

  例:

      (%i1) diff (log (x));
                                   del(x)
      (%o1)                        ------
                                     x
      (%i2) diff (exp (x*y));
                           x y              x y
      (%o2)            x %e    del(y) + y %e    del(x)
      (%i3) diff (x*y*z);
      (%o3)         x y del(z) + x z del(y) + y z del(x)

  ·

  Categories: Differential calculus

関数: delta (t)

  Diracのデルタ関数

  今のところ、`laplace`だけが `delta`を知っています。

  例:

      (%i1) laplace (delta (t - a) * sin(b*t), t, s);
      Is  a  positive, negative, or zero?

      p;
                                         - a s
      (%o1)                   sin(a b) %e

  ·

  Categories: Mathematical functions ·Laplace transform

システム変数: dependencies

  デフォルト値: `[]`

  `dependencies`は、 `depends`や `gradef`が割り当てた関数依存を持つアトムのリストです。 `dependencies`リストは累積的です: `depends`や `gradef`をコールする毎に上乗せの項目を追加します。

  `depends`と `gradef`を参照してください。

  ·

  Categories: Declarations and inferences ·Global variables

関数: depends (f_1, x_1, ..., f_n, x_n)

  導関数を計算するために変数の間の関数依存を宣言します。 宣言された依存関係がないと `diff (f, x)`の結果はゼロです。 もし `depends (f, x)`を宣言したら、 `diff (f, x)`の結果はシンボリックな導関数(すなわち `diff`名詞)です。

  それぞれの引数 f_1, x_1などは、 変数や配列の名前、または名前のリストをとり得ます。 f_i (多分ただ１つの要素)のすべての要素は、 x_i (多分ただ１つの要素)のすべての要素に依存するように宣言されます。 もしいくつかの f_iが配列名だったり配列名を含むなら、 配列の要素すべては x_iに依存します。

  `diff`は `depends`が確立した間接的依存関係を認識し、 これらの場合に連鎖規則を適用します。

  `remove (f, dependency)`は fに関して宣言された依存関係すべてを取り除きます。

  `depends`は確立した依存関係のリストを返します。 依存関係はグローバル変数 `dependencies`に追加されます。 `depends`は引数を評価します。

  `diff`は `depends`が確立する依存関係を認識する唯一の Maximaコマンドです。 他の関数( `integrate`, `laplace`など)は 引数が明示的に示す依存関係だけを認識します。 例えば、`integrate`は、 `integrate (f(x), x)`のように陽に表現されないなら `f`の `x`への依存性を認識しません。

      (%i1) depends ([f, g], x);
      (%o1)                     [f(x), g(x)]
      (%i2) depends ([r, s], [u, v, w]);
      (%o2)               [r(u, v, w), s(u, v, w)]
      (%i3) depends (u, t);
      (%o3)                        [u(t)]
      (%i4) dependencies;
      (%o4)      [f(x), g(x), r(u, v, w), s(u, v, w), u(t)]
      (%i5) diff (r.s, u);
                               dr           ds
      (%o5)                    -- . s + r . --
                               du           du

      (%i6) diff (r.s, t);
                            dr du           ds du
      (%o6)                 -- -- . s + r . -- --
                            du dt           du dt

      (%i7) remove (r, dependency);
      (%o7)                         done
      (%i8) diff (r.s, t);
                                      ds du
      (%o8)                       r . -- --
                                      du dt

  ·

  Categories: Differential calculus ·Declarations and inferences

オプション変数: derivabbrev

  デフォルト値: `false`

  `derivabbrev`が `true`の時、 シンボリックな導関数(すなわち `diff`名詞)が下付き添字として表示されます。 そうでないなら導関数はライプニッツ表記 `dy/dx`で表示されます。

  ·

  Categories: Differential calculus ·Global flags

関数: derivdegree (expr, y, x)

  exprに現れる独立変数 xに関する従属変数 yの微分の最高階数を返します。

  例:

      (%i1) 'diff (y, x, 2) + 'diff (y, z, 3) + 'diff (y, x) * x^2;
                               3     2
                              d y   d y    2 dy
      (%o1)                   --- + --- + x  --
                                3     2      dx
                              dz    dx
      (%i2) derivdegree (%, y, x);
      (%o2)                           2

  ·

  Categories: Differential calculus ·Expressions

関数: derivlist (var_1, …, var_k)

  `ev`コマンド内にて示された変数に関する微分だけを生じさせます。

  ·

  Categories: Differential calculus ·Evaluation

オプション変数: derivsubst

  デフォルト値: `false`

  `derivsubst`が `true`の時、 `subst (x, 'diff (y, t), 'diff (y, t, 2))` のような非構文法的代入は `'diff (x, t)`をもらします。

  ·

  Categories: Differential calculus ·Expressions

関数: diff (expr, x_1, n_1, …, x_m, n_m)
関数: diff (expr, x, n)
関数: diff (expr, x)
関数: diff (expr)

  exprの中のすべての変数の中のいくつかに関する exprの導関数すなわち微分を返します。

  `diff (expr, x, n)`は xに関する exprの n階微分を返します。

  `diff (expr, x_1, n_1, ..., x_m, n_m)`は x_1, ..., x_mに関する exprの偏微分を返します。 これは `diff (... (diff (expr, x_m, n_m) ...), x_1, n_1)`と同値です。

  `diff (expr, x)`は変数 xに関する exprの1階微分を返します。

  `diff (expr)`は exprの全微分を返します。 すなわち、それぞれの変数に関する exprの微分に変数それぞれの微分 `del`を掛けたものの和を返します。 `del`の更なる整理は提供されません。

  微分方程式を記述する時などいくつかの文脈で `diff`の名詞形式が要求されます。 これらの場合、 `diff`は微分が実行される代わりに名詞形式を出力するために (`'diff`として)クォートされるかもしれません。

  `derivabbrev`が `true`の時、導関数は下付き添字として表示されます。 そうでないなら、導関数はライブニツ記法の `dy/dx`で表示されます。

  例:

      (%i1) diff (exp (f(x)), x, 2);
                           2
                    f(x)  d               f(x)  d         2
      (%o1)       %e     (--- (f(x))) + %e     (-- (f(x)))
                            2                   dx
                          dx
      (%i2) derivabbrev: true$
      (%i3) 'integrate (f(x, y), y, g(x), h(x));
                               h(x)
                              /
                              [
      (%o3)                   I     f(x, y) dy
                              ]
                              /
                               g(x)
      (%i4) diff (%, x);
             h(x)
            /
            [
      (%o4) I     f(x, y)  dy + f(x, h(x)) h(x)  - f(x, g(x)) g(x)
            ]            x                     x                  x
            /
             g(x)

  テンソルパッケージのために以下の変更が取り込まれています:

  (1) exprの中の任意の添字付きオブジェクトの導関数は 追加された引数として添えられた変数 x_iを持ちます。 そして導関数の添字はすべてソートされます。

  (2) x_iは 1から変数 `dimension` [デフォルト値: 4]の値までの整数を取ります。 これにより、例えば `[x, y, z, t]`など座標名のリストして設定されたリスト `coordinates`の x_i番目のメンバーに関する微分が実行されます。 もし `coordinates`がアトムの変数にバインドされているなら、 x_iで下付き添字された変数が、微分の変数として使われます。 これにより、座標名や `X[1]`, `X[2]`, …のような下付き添字付き名前の配列が使えることになります。 もし `coordinates`に値が割り当てられていないなら、変数は上の(1)のように扱われます。

  ·

  Categories: Differential calculus

特殊シンボル: diff

  `ev`コールで `evflag`として `diff`が存在する時、 `expr`の中で表現されたすべての微分が実行されます。

関数: dscalar (f)

  スカラーのダランベルシアンをスカラー関数 fに適用します。

  `load ("ctensor")`はこの関数をロードします。

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  Categories: Differential calculus ·Package ctensor

関数: express (expr)

  名詞形の微分演算子を偏微分を使った式に展開します。 `express`は演算子 `grad`, `div`, `curl`, `laplacian`を認識します。 `express`は外積 `~`も展開します。

  `ev`関数コールかコマンドラインに `diff`を含ませることで、 expressの戻り値の中のシンボリックな導関数(すなわち `diff`名詞)を評価することができます。 この文脈では `diff`は `evfun`として振る舞います。

  `load ("vect")`はこの関数をロードします。

  例:

      (%i1) load ("vect")$
      (%i2) grad (x^2 + y^2 + z^2);
                                    2    2    2
      (%o2)                  grad (z  + y  + x )
      (%i3) express (%);
             d    2    2    2   d    2    2    2   d    2    2    2
      (%o3) [-- (z  + y  + x ), -- (z  + y  + x ), -- (z  + y  + x )]
             dx                 dy                 dz
      (%i4) ev (%, diff);
      (%o4)                    [2 x, 2 y, 2 z]
      (%i5) div ([x^2, y^2, z^2]);
                                    2   2   2
      (%o5)                   div [x , y , z ]
      (%i6) express (%);
                         d    2    d    2    d    2
      (%o6)              -- (z ) + -- (y ) + -- (x )
                         dz        dy        dx
      (%i7) ev (%, diff);
      (%o7)                    2 z + 2 y + 2 x
      (%i8) curl ([x^2, y^2, z^2]);
                                     2   2   2
      (%o8)                   curl [x , y , z ]
      (%i9) express (%);
             d    2    d    2   d    2    d    2   d    2    d    2
      (%o9) [-- (z ) - -- (y ), -- (x ) - -- (z ), -- (y ) - -- (x )]
             dy        dz       dz        dx       dx        dy
      (%i10) ev (%, diff);
      (%o10)                      [0, 0, 0]
      (%i11) laplacian (x^2 * y^2 * z^2);
                                        2  2  2
      (%o11)                laplacian (x  y  z )
      (%i12) express (%);
               2                2                2
              d     2  2  2    d     2  2  2    d     2  2  2
      (%o12)  --- (x  y  z ) + --- (x  y  z ) + --- (x  y  z )
                2                2                2
              dz               dy               dx
      (%i13) ev (%, diff);
                            2  2      2  2      2  2
      (%o13)             2 y  z  + 2 x  z  + 2 x  y
      (%i14) [a, b, c] ~ [x, y, z];
      (%o14)                [a, b, c] ~ [x, y, z]
      (%i15) express (%);
      (%o15)          [b z - c y, c x - a z, a y - b x]

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  Categories: Differential calculus ·Vectors ·Operators

関数: gradef (f(x_1, …, x_n), g_1, ..., g_m)
関数: gradef (a, x, expr)

  関数 fまたは変数 aの偏微分（すなわち、勾配の成分）を定義します。

  `gradef (f(x_1, ..., x_n), g_1, ..., g_m)`は `df/dx_i`を g_iとして定義します。 ここで g_iは式です; g_iは関数コールでもあり得ますが関数名ではありません。 偏微分の数 mは引数の数 nよりも小さいかもしれません。 その場合、微分は x_1から x_mまでのみに関して定義されます。

  `gradef (a, x, expr)`は変数 aの xに関する微分を exprと定義します。 これは (`depends (a, x)`を介して) aの xへの依存性も確立します。

  最初の引数 `f(x_1, ..., x_n)`または aはクォートされますが、 残りの引数 g_1, ..., g_mは評価されます。 `gradef`は偏微分が定義される関数や変数を返します。

  `gradef`は Maximaの組み込み関数の微分を再定義できます。 例えば、`gradef (sin(x), sqrt (1 - sin(x)^2))`は `sin`の微分を再定義します。

  `gradef`は添字付き関数の偏微分を定義できません。

  `printprops ([f_1, ..., f_n], gradef)`は関数 f_1, ..., f_nの偏微分を `gradef`で定義されたように表示します。

  `printprops ([a_n, ..., a_n], atomgrad)`は変数 a_n, ..., a_nの偏微分を `gradef`で定義されたように表示します。

  `gradefs`は `gradef`が偏微分を定義した関数のリストです。 `gradefs`は `gradef`が偏微分を定義した変数は含みません。

  例えば、関数は明示的は知られていませんが一階微分が知られていて、 高階の微分を得ることが望まれる時、勾配が必要とされます。

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  Categories: Differential calculus ·Declarations and inferences

システム変数: gradefs

  デフォルト値: `[]`

  `gradefs`は `gradef`が偏微分を定義した関数のリストです。 `gradefs`は `gradef`が偏微分を定義した変数は含みません。

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  Categories: Differential calculus ·Declarations and inferences

関数: laplace (expr, t, s)

  変数 tに関するラブラス変換 exprを計算し、パラメータ sに変換しようとします。

  `laplace`は exprの中で `derivative`, `integrate`, `sum`, `ilt`はもちろん関数 `delta`, `exp`, `log`, `sin`, `cos`, `sinh`, `cosh`, `erf`を認識します。 もし laplaceが変換を見つけられなかったら、 関数 `specint`をコールします。 `specint`はベッセル関数 `bessel_j`, `bessel_i`, …のような 特殊関数を含む式のラプラス変換を見つけることができ、 `unit_step`関数を扱うことができます。 `specint`も参照してください。

  もし `specint`も解を見つけられないなら、 名詞 `laplace`を返します。

  exprは従属変数の `atvalue`が使われている線形定数係数微分方程式であり得ます。 要求の atvalueは 変換を計算する前でも後でも供給できます。 初期条件をゼロ点で指定しなければいけないので、 もし他に課される境界条件を持つなら 一般解にそれらを課すことができます。 それらに関して一般解を解き、それらの値を代入し返すことによって定数を消去できます。

  `laplace`は、形式 `integrate (f(x) * g(t - x), x, 0, t)`の畳み込み積分を認識します; 他の種類の畳み込みは認識されません。

  関数関係は exprで明示的に表現しなければいけません; `depends`で確立した暗黙の関係は認識されません。 例えば、もし fが xと yに依存するなら、 `f (x, y)`が exprの中に現れなければいけません。

  逆ラプラス変換 `ilt`も参照してください。

  例:

      (%i1) laplace (exp (2*t + a) * sin(t) * t, t, s);
                                  a
                                %e  (2 s - 4)
      (%o1)                    ---------------
                                 2           2
                               (s  - 4 s + 5)
      (%i2) laplace ('diff (f (x), x), x, s);
      (%o2)             s laplace(f(x), x, s) - f(0)
      (%i3) diff (diff (delta (t), t), t);
                                2
                               d
      (%o3)                    --- (delta(t))
                                 2
                               dt
      (%i4) laplace (%, t, s);
                                  !
                     d            !         2
      (%o4)        - -- (delta(t))!      + s  - delta(0) s
                     dt           !
                                  !t = 0
      (%i5) assume(a>0)$
      (%i6) laplace(gamma_incomplete(a,t),t,s),gamma_expand:true;
                                                    - a - 1
                               gamma(a)   gamma(a) s
      (%o6)                    -------- - -----------------
                                  s            1     a
                                              (- + 1)
                                               s
      (%i7) factor(laplace(gamma_incomplete(1/2,t),t,s));
                                                    s + 1
                            sqrt(%pi) (sqrt(s) sqrt(-----) - 1)
                                                      s
      (%o7)                 -----------------------------------
                                      3/2      s + 1
                                     s    sqrt(-----)
                                                 s
      (%i8) assume(exp(%pi*s)>1)$
      (%i9) laplace(sum((-1)^n*unit_step(t-n*%pi)*sin(t),n,0,inf),t,s),
               simpsum;
                               %i                         %i
                    ------------------------ - ------------------------
                                    - %pi s                    - %pi s
                    (s + %i) (1 - %e       )   (s - %i) (1 - %e       )
      (%o9)         ---------------------------------------------------
                                             2
      (%i9) factor(%);
                                            %pi s
                                          %e
      (%o9)                   -------------------------------
                                                   %pi s
                              (s - %i) (s + %i) (%e      - 1)

  ·

  Categories: Laplace transform ·Differential equations

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この文書は市川 雄二によって2012年12月月12日にtexi2html 1.82を用いて生成されました。