\heading{Formale Darstellung der Noteneingabesprache}

Eingabeverfahren, die f"ur den Computer geeignet sein sollen,
m"ussen eine
streng formalisierte
"au\3ere Form haben, um Mehrdeutigkeiten bez"uglich der Bedeutung zu
vermeiden.
Solche \Ev\ geh"oren zur Klasse der formalen Sprachen, deren Syntax in
den meisten F"allen mit Hilfe sogenannter Regelgrammatiken definiert
werden kann.
\abs
Auch bei der hier entwickelten Noteneingabesprache kann die Theorie
der formalen Sprachen zugrunde gelegt werden.
Ihre Syntax wird durch die \BNF,
mit der  \kf e \G en beschrieben werden k"onnen, dargestellt. Doch
bevor die Syntax der Eingabesprache definiert wird, sollen die
theoretischen Grundlagen dieser Darstellungsweise geschaffen werden.
Deshalb folgt eine kurze Einf"uhrung in formale Sprachen und \kf e \G
en \lit{\Zima}, \lit{\Peters}.
\abschnitt\abschnitt
\centerline{\bf 2.1 Theoretische Grundlagen}
\abschnitt\abschnitt
\subheading{2.1.1 Formale Sprachen}
Um den oben erw"ahnten Begriff der formalen Sprache zu
er\-kl"a\-ren, sind
zun"achst einige andere Definitionen n"otig.
\absatz
\subheading{Definition}
Eine nichtleere endliche Menge
$\Sigma=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$, $n\ge 1$, hei\3t (endliches)
\de{Alphabet} und die $a_i$,
$1\le i\le n$ sind die Zeichen oder Symbole des Alphabets $\Sigma$.
\absatz
Diese Zeichen lassen sich nach folgender Vorschrift zu W"ortern
zusammensetzen.
\abs
\subheading{Definition}
Sei $\Sigma=\{a_1,\ldots,a_n\}$, $n\ge 1$. Dann hei\3t die endliche
Folge
$$x=a_{i_{\ssize 1}}\cdots a_{i_{\ssize r}}\;,
\q r\ge 0\;,\q 1\le i_j\le n\;,
\q j\in \lbrack 1,r\rbrack$$
\de{Wort} "uber dem Alphabet $\Sigma$.
Dabei ist $r$ die L"ange des Wortes und wird geschrieben als
$|x|=r$.
Falls $r=0$, so ist $x$ gleich dem leeren Wort $\epsilon$.
Die Menge aller Worte "uber $\Sigma$ wird mit $\Sigma^*$ bezeichnet und
$\Sigma^+=\Sigma^*\setminus \{\epsilon\}$
ist die Menge aller Worte "uber dem Alphabet $\Sigma$ ohne das leere
Wort.
\absatz
Auf der Menge aller W"orter ist eine Verkn"upfung, die
Konkatenation, wie folgt definiert.
\abs
\subheading{Definition}
Seien
$x=a_{i_{\ssize 1}}\cdots a_{i_{\ssize r}}$ und
$y=a_{k_{\ssize 1}}\cdots a_{k_{\ssize s}}$
zwei Worte "uber dem Alphabet $\Sigma$. Dann
wird das Wort $z=a_{i_{\ssize 1}}\cdots a_{i_{\ssize r}}a_{k_{\ssize 1}}
\cdots a_{k_{\ssize s}}$
als \de{Konkatenation} oder \de{Produkt}
von $x$ und $y$ bezeichnet und $z$
wird geschrieben als $z=xy$.
\absatz
Mit den definierten Begriffen k"onnen nun formale Sprachen eingef"uhrt
werden.
\abs
\subheading{Definition}
Eine
\de{(formale) Sprache} "uber dem Alphabet
$\Sigma$ ist eine beliebige Menge
$L\subseteq \Sigma^*$.
\abschnitt
Es stellt sich die Frage, wie die Sprache $L$
spezifiziert werden kann und wie die Elemente dieser Menge
beschrieben werden k"onnen. Die
Beantwortung h"angt davon ab, ob die Sprache $L$ endlich oder
nicht endlich ist.
Handelt es sich bei $L$ um eine endliche Wortmenge, so k"onnen die
Elemente aufgez"ahlt werden.
Falls $L$ jedoch nicht endlich ist, mu\3 eine endliche Beschreibung der
Sprache gefunden werden. Bei dieser Beschreibung soll auf nat"urliche
Sprachen verzichtet und formale Methoden angewandt werden, um
Mehrdeutigkeiten zu vermeiden. Es gibt verschiedene Hilfsmittel, um
solch eine Beschreibung zu erhalten.
\abs
Eine der gebr"auchlichsten Methoden zur Beschreibung formaler Sprachen
sind die Regelgrammatiken, die je nach M"achtigkeit verschiedene Klassen
formaler Sprachen definieren.
Die geeignetste Regelgrammatik
zur Darstellung von Eingabesprachen, wie sie bei der
Aufgabenstellung dieser Arbeit vorkommen, sind die \kf en \G en. Sie
erfassen weite Teile der Syntax dieser Eingabesprachen.
\abschnitt\abschnitt
\subheading{2.1.2 Kontext--freie Grammatiken}
Es folgen nun einige Definitionen zu \kf en \G en und Sprachen.
\absatz
\subheading{Definition}
Eine \de{\kf e \G\ } ist ein Quadrupel
$G=(N,\Sigma,P,S)$,
wobei
$N$ die endliche Menge der \de{Nichtterminalsymbole} und
$\Sigma$ die endliche Menge der \de{Terminalsymbole} ist. Es soll
$N\cap\Sigma=\emptyset$ gelten.
Die endliche Menge $\Gamma=N\cup \Sigma$ wird als \de{Gesamtalphabet}
bezeichnet.
$P\subseteq N\times\Gamma^*$ ist die Menge der Regeln oder
\de{Produktionen}. $P$ ist eine endliche Menge. $(A,v)\in P$
hei\3t eine Regel
f"ur $A$ und wird in der Form
$A\longrightarrow v$ geschrieben.
$S\in N$ hei\3t \de{Startsymbol}.
\absatz
Produktionsregeln aus $P$ lassen sich hintereinander ausf"uhren.
Dies f"uhrt zu folgender Definition
\abs
\subheading{Definition}
Sei
$G=(N,\Sigma,P,S)$ eine \kf e \G\ und
$w,w_0\in \Gamma^*$. Dann hei\3t $w$ aus $w_0$
\de{ableitbar} bez"uglich $P$, wenn es eine Folge
$w_1,w_2,\ldots,w_m\in \Gamma^*$ gibt, mit
$w_m=w$ und folgender Eigenschaft:\abs
F"ur jedes $i=1,\ldots, m$ gibt es eine Regel
$(A_i,v_i)\in P$ und W"orter
$x_i, y_i\in\Gamma^*$, so da\3 gilt:
$$w_{i-1}=x_iA_iy_i\qq\hbox{und}\qq w_i=x_iv_iy_i\;.$$
Die Folge
$w_i$, $i=0,\ldots, m$, hei\3t
\de{Ableitung} der L"ange $m$ und wird in der Gestalt
$$w_0\longrightarrow w_1\longrightarrow \ldots
\longrightarrow w_m=w$$
als solche angedeutet.
Die Tatsache, da\3 es eine Ableitung von $w$ aus $w_0$ in $P$ gibt,
wird durch $w_0\abl^P w$ notiert.
\abs
Mit einer \kf en \G\ lassen sich W"orter erzeugen. Ausgehend vom
Startsymbol $S$ k"onnen nach Belieben Produktionsregeln der
Grammatik angewandt werden. Eine Produktion ersetzt jeweils ein
Nichtterminalsymbol durch ein Element aus der Menge $N\cup\Sigma$.
Terminalsymbole k"onnen nicht ersetzt werden.
Der Ableitungsvorgang terminiert sp"atestens dann, wenn das Wort nur
noch Symbole aus dem Terminalalphabet enth"alt. Er endet auch,
wenn f"ur ein
Nichtterminalzeichen keine Produktion existiert.
Die bei einer Ableitung entstandenen W"orter, die nur
Terminalsymbole enthalten,
hei\3en \de{Terminalw"orter} oder S"atze. Sie geh"oren zur Menge
$\Sigma^*$. Die Menge aller von einer \kf en \G\ erzeugten
Terminalw"orter bilden die zu der \G\ geh"orende \kf e Sprache.
\absatz
\subheading{Definition}
Eine formale Sprache
$L\subseteq \Sigma^*$ hei\3t \de{\kf} genau dann,
wenn es eine \kf e \G\
$G=(N,\Sigma,P,S)$ gibt, f"ur die
$$L=L(G):=\{w\,\mid\,w\in\Sigma^*\hbox{ und }
S\abl^P w\}$$
gilt.
\abs
\subheading{Beispiel}
Sei $G_1=(\{S,T\}, \{a,b\}, \{S\to aT|Ta|\epsilon, T\to Sb|bS\}, S)$
eine kontext--freie Grammatik.
Die verschiedenen Produktionen f"ur ein Nichtterminalsymbol
werden "ublicherweise zu einer Regel zusammengefa\3t und durch
einen senkrechten Strich getrennt. $T\to Sb|bS$ bedeutet also
$T\to Sb$ oder $T\to bS$.
Es gibt zum Beispiel folgende
Ableitungen:
$$S\longrightarrow aT\longrightarrow aSb\longrightarrow ab$$
oder
$$S\longrightarrow Ta\longrightarrow Sba\longrightarrow aTba
\longrightarrow aSbba\longrightarrow abba\;.$$
Die W"orter $ab$ bzw. $abba$ sind Terminalworte.
\abschnitt
Sei im folgenden
$G=(N,\Sigma,P,S)$ eine \kf e \G,
$w\in\Sigma^*$ und $L(G)$ die von $G$ erzeugte \kf e Sprache.
\abs
Im Zusammenhang mit \kf en \G en und Sprachen stellt sich
die Frage, ob die Syntax der erzeugten Sprache korrekt ist.
Deshalb sind drei Probleme, auf die im folgenden n"aher eingegangen
wird,
von besonderem Interesse:
\item{---} "Aquivalenz von Grammatiken,
\item{---}
Entscheidbarkeit "uber die Zugeh"origkeit eines Wortes zu der von
der Grammatik $G$ erzeugten Sprache $L(G)$,
\item{---} Eindeutigkeit der Ableitung f"ur ein Wort
$w\in L(G)$.
\abs
Auf diese drei Punkte wird nun n"aher eingegangen.
\abschnitt\abschnitt
\subheading{2.1.3 "Aquivalenz \kf er \G en}
Es kann sein, da\3 eine
\kf e \G\  in ihren Alphabeten Zeichen enth"alt,
f"ur die es keine Ableitungen gibt oder die in den Terminalw"ortern der
erzeugten
Sprache nicht vorkommen. Auch die Menge der Produktionen kann nutzlose
Regeln enthalten, die zur Erzeugung der Sprache, also der
Terminalw"orter, nicht beitragen.
\abs
Es w"are sicherlich w"unschenswert, wenn diese redundanten
beziehungsweise nutzlosen Zeichen
und Regeln aus der \kf en \G\ entfernt werden k"onnten, ohne da\3 sich
die \G\ wesentlich "andert.
Dies geht, indem folgende Einschr"ankungen gemacht werden:
(1) das Startsymbol kommt nur auf der linken Seite einer Ableitung auf,
(2) keine Regel f"uhrt nur zum leeren Wort, (3) kein Nichtterminalsymbol
wird in ein Nichtterminalsymbol abgeleitet und (4) jede Ableitung f"uhrt
zu einem Terminalwort.
Auf welche Art ein Grammatik dahingehend abge"andert werden kann, da\3
sie diese Bedingungen erf"ullt, wird im Anschlu\3 an die Definition
der "Aquivalenz geschildert.
\absatz
\subheading{Definition}
Zwei \kf e \G en
$G=(N,\Sigma,P,S)$ und
$G'=(N',\Sigma',P',S')$ hei\3en
\de{"aqui\-va\-lent} genau dann, wenn
$L(G)=L(G')$; \dh, wenn die beiden \G en die gleiche Sprache
erzeugen.
\abschnitt
Der folgende Algorithmus "uberf"uhrt die \kf e Grammatik $G$ in
eine \kf e Grammatik $G'$, die
die obigen Bedingungen erf"ullt und "aquivalent zu $G$ ist.
Die Grammatik $G'$ wird \de{reduziert} genannt. F"ur eine
ausf"uhrlichere
Beschreibung des Algorithmus sei auf \lit{\Zima} oder \lit{\Peters}
verwiesen.
\abs
Eine \kf e \G\
$G=(N,\Sigma,P,S)$ kann durch folgende Schritte reduziert werden:
\abs
\item{1.}
Das Startsymbol $S$ soll nicht auf der rechten Seite einer Ableitung
vorkommen, \dh
in
$A\longrightarrow v$, $A\in N$, $v\in\Gamma^*$, tritt $S$ nicht in $v$
auf. Diese Bedingung kann erf"ullt werden durch Einf"uhrung eines neuen
Startsymbols $S'$ und der Hinzunahme der Regel $S'\longrightarrow S$.
$N'$ ist dann
$N\cup\{S'\}$.
\item{2.}
Die Produktionen sollen \de{$\epsilon$--frei} sein, \dh
keine Regel soll die Form
$C\longrightarrow \epsilon$, $C\in N$, haben.
Sei $v\in\Gamma^*$ und das Nichtterminalsymbol $C$ kommt in $v$ vor.
Dann kann zu jeder Regel
$A\longrightarrow v$, $A\in N$,
eine Produktion
$A\longrightarrow w$, $w\in\Gamma^*$, hinzugef"ugt werden.
Diese entsteht aus
$A\longrightarrow v$, indem in $w$ alle $C$ durch
$\epsilon$ ersetzt werden. Die Regel
$C\longrightarrow \epsilon$ kann dann eliminiert werden.
\item{3.}
Die Menge der Produktionen enth"alt keine \de{single production},
also keine Regel der Form
$A\longrightarrow B$ mit $A,B\in N$. Dazu werden alle Produktionen
$C\longrightarrow x$, $x\in\Sigma$ betrachtet. Nun wird
f"ur alle $A$ mit
$ A\longrightarrow B$ und alle
$ C\longrightarrow x$ "uberpr"uft, ob eine Ableitung
$A\abl^P C$ existiert. Falls es so eine Ableitung gibt, wird
$A\longrightarrow x$ als neue Regel hinzugenommen und die Regel
$A\longrightarrow B$ entfernt.
\item{4.}
Jede abgeschlossene Ableitung soll zu einem Terminalwort f"uhren.
Das bedeutet, da\3 es
immer eine Ableitung $S\abl^P vAw\abl^P vuw$ mit
$v,w,u\in\Sigma^*$, $A\in N$, gibt. Dies kann erreicht werden, indem
alle Nichtterminalzeichen aus dem Nichtterminalalphabet $N$ gestrichen
werden, aus denen kein Terminalwort abgeleitet werden kann. Au\3erdem
werden alle nichterreichbaren Symbole aus den Alphabeten gestrichen.
\abs
Die durch obigen Proze\3 entstandene \kf e \G\
$G'=(N',\Sigma',P',S')$ ist "aquivalent zu der \kf en \G\ $G$, \dh
$L(G')=L(G)$ (Beweis siehe \lit{\Zima}, \lit{\Peters}).
Mit der \G\ $G'$ kann die Sprache $L$ ohne unn"otige bzw.
redundante Ableitungen erzeugt werden.
Au\3erdem wird mit jeder vollst"andigen
Ableitung
ein Terminalwort erreicht.
Ein Ziel wird es demnach sein,
zur Erzeugung einer Sprache eine reduzierte
\kf e \G\ zu benutzen.
\abschnitt
Im folgenden sei die \kf e \G\
$G=(N,\Sigma,P,S)$ laut obigen Vereinbarungen eine reduzierte Grammatik.
\abschnitt\abschnitt
\subheading{2.1.4 Entscheidbarkeit}
Immer dann, wenn die Syntax einer Sprache "uberpr"uft werden soll,
stellt sich
die Frage nach der Zugeh"origkeit eines Wortes zu dieser
Sprache.
Eine syntaktisch korrekte Sprache enth"alt nur
W"orter, die durch die zugeh"orige Grammatik erzeugt
wurden. Deshalb ist es f"ur die Syntaxanalyse wichtig, entscheiden zu
k"onnen, ob ein Wort zu der von einer Grammatik erzeugten Sprache
geh"ort oder nicht. Falls diese Frage f"ur ein Wort entschieden werden
kann, so mu\3 als
n"achster Schritt eine Ableitung f"ur  dieses Wort gefunden werden --
vorausgesetzt, das Wort geh"ort zu der Sprache.
Anhand der gefundenen Ableitung f"ur ein Wort $x$ kann seine syntaktische
Struktur erkannt werden.
\absatz
\subheading{Definition}
Eine Sprache
$L\subseteq \Sigma^*$ mit der Eigenschaft, da\3 f"ur jedes Wort
$v\in\Sigma^*$ entschieden werden kann, ob
$v\in L$ oder $v\notin L$, hei\3t
\de{entscheidbar}.
\absatz
Jede \kf e Sprache ist entscheidbar (siehe
\lit{\Peters} oder \lit{\Zima}).
Das bedeutet, da\3 in jedem Fall festgestellt werden
kann, ob ein Wort durch die Grammatik erzeugt wird und damit zu
der Sprache geh"ort.
Im Zusammenhang mit der
Entscheidbarkeit \kf er Sprachen werden
Verfahren angegeben, mit denen eine Ableitung f"ur
ein Terminalwort gefunden werden kann.
Verfahren zum systematischen Aufsuchen einer Ableitung zu einer
gegebenen Grammatik $G$ und einem gegebenen Wort
$w\in \Sigma^*$ werden
\de{Syntax--Anlayse--Verfahren} genannt.
\abs
Bei der Konstruktion einer zu $w$ geh"orenden Ableitung k"onnen zwei
prinzipiell verschiedene Wege eingeschlagen werden:
Einerseits kann von den Terminalzeichen, die das Wort $w$ bilden,
ausgegangen und versucht werden, das Startsymbol $S$ zu erreichen
(``bottom--up--Analyse''). Andererseits kann die Konstruktion einer
Ableitung mit dem Startsymbol begonnen werden, um auf diesen Weg das
Terminalwort $w$ zu erreichen (``top--down--Analyse'').
\abs
W"ahrend einer Analyse mu\3 h"aufig zwischen mehreren Regeln gew"ahlt
werden, weil es f"ur ein Nichtterminalsymbol verschiedene Produktionen
geben kann und es oft nicht absehbar ist, ob die eine oder die
andere Regel zum gew"unschten Ergebnis f"uhrt.
Dies zeigt das folgende Beispiel.
\absatz
\subheading{Beispiel}
Sei $G$ eine \kf e \G\ mit $\Sigma=\{a,+,*,(,)\}$, $N=\{S\}$,
\par
$P=\{S\to S+S/S*S/(S)/a\}$ und dem Startsymbol $S$.
Dann kann der Ausdruck $a+a*a$ mit verschiedenen Ableitungen
erreicht werden:
$$S\to S+S\to S+S*S\to a+S\to a+a*S\to a+a*a$$
oder
$$S\to S+S\to a+S\to a+S*S\to a+a*S\to a+a*a\,.$$
\absatz
Es kann auch sein, da\3 durch die Wahl einer ungeeigneten Regel
die Anlayse vor Erreichen des Startsymbols $S$ bzw. des Terminalworts
$w$ terminiert. Dann mu\3 die Ableitung bis zu der mehrdeutigen Stelle
r"uckg"angig gemacht werden (``back--tracking'') und von dort aus wieder
mit der Analyse begonnen werden. Allerdings werden die Bem"uhungen
dahingehen, solche Sackgassen zu vermeiden und m"oglichst effiziente
Analysealgorithmen zu verwenden.
\abs
Verfahren, die solche Analysealgorithmen f"ur \kf e Sprachen automatisch
generieren, sind die
$LL(1)$-- und die
$LALR(1)$--Analyse. Die Besprechung dieser Analyseverfahren w"urde
hier zu weit f"uhren, deshalb sei an dieser Stelle wiederum auf
\lit{\Zima} verwiesen.
\absatz
Es ist noch zu sagen, da\3 diese Analysestrategien ausschlie\3lich auf
eindeutige \G en anwendbar sind. Darum schlie\3t an dieser Stelle
eine kurze
Zusammenfassung "uber den Eindeutigkeitsbegriff \kf er \G en an.
\abschnitt\abschnitt
\subheading{2.1.5 Eindeutigkeit}
Bevor Aussagen zur Eindeutigkeit einer \kf en \G\ gemacht werden
k"onnen, m"ussen einige Vereinbarungen "uber Ableitungen getroffen
werden.
Um daf"ur einen anschaulichen Hintergrund zu haben, werden die
Ableitungen durch sogenannte Ableitungsb"aume graphisch dargestellt.
\absatz
\subheading{Definition}
Sei $G$ eine \kf e \G\ und
$w\in L(G)\subseteq\Sigma^*$. Ein
\de{Ableitungsbaum von $w$ in $G$} ist ein Baum mit
den Eigenschaften:
\item{---}
Die Wurzel hat die Marke $S$.
\item{---}
Alle mit Nichtterminalzeichen $A$ markierten Knoten haben
Nachfolger; sind f"ur einen mit $A$ markierten Knoten die Nachfolger mit
$v_1,\ldots, v_n\in\Gamma$ markiert, dann enth"alt $G$ die Regel
$A\longrightarrow v_1\cdots v_n$.
\item{---}
Die Marken der Bl"atter ergeben von links nach rechts gelesen das
Wort $w$.
\absatz
Zu einer Ableitung
$S\abl^P w$ mit
$S\longrightarrow w_1\longrightarrow w_2\longrightarrow
\cdots \longrightarrow w_m=w$,
$w\in L(G)$, kann nach folgenden Regeln ein \de{Ableitungsbaum}
zusammengef"ugt werden:
\par
\item{1.}
Zu jeder Regel
$A\longrightarrow v_1\cdots v_n\in P$ mit
$v_i\in \Gamma$,
$1\le i\le n$, wird der zugeh"orige \de{Regelbaum}
\par
%
\input mdocpic1
%
\item{ } gebildet.
\item{2.}
Nun wird der Ableitungsbaum f"ur
$S\abl^P w$ begonnen, indem der Regelbaum zur Regel
$S\longrightarrow w_1$ erstellt wird.
\item{3.}
Sei $w_i=xAy$, $1\le i<m$, $x,y\in\Gamma^*$, $A\in N$ und
$w_{i+1}=xvy$, $v\in \Gamma^*$. Der "Ubergang von $w_i$ nach
$w_{i+1}$ wird durch die Anwendung der Regel
$A\longrightarrow v$ bewirkt.
Im Ableitungsbaum wird
der Knoten $A\in N$ durch den Regelbaum f"ur die Regel
$A\longrightarrow v$ ersetzt.
Jeder Ableitungsschritt kann an den
Bl"attern des Baumes von links nach rechts abgelesen werden.
\abs
Auf diese Weise kann f"ur jedes Wort $w$ ein Ableitungsbaum konstruiert
werden.
Der umgekehrte Vorgang ist ebenfalls m"oglich.
Zu einem Ableitungsbaum eines Wortes $w$ k"onnen Ableitungen
gefunden werden; dabei kann es sein, da\3 es zu einem Ableitungsbaum
verschiedene Ableitungen gibt. Deswegen wird jedem Ableitungsbaum eine
ausgezeichnete Ableitung zugeordnet.
\absatz
\subheading{Definition}
Eine Ableitung
$S\longrightarrow w_1\longrightarrow\cdots\longrightarrow w_m=w$ hei\3t
\de{Linksableitung} genau dann, wenn bei jedem "Ubergang
$w_{i}=xAy\longrightarrow xvy$ mit
$w_i,y,v\in\Gamma^*$,
$A\in N$, stets $x\in\Sigma^*$ gilt.
Analog dazu kann auch die \de{Rechtsableitung} definiert werden.
\abs
Jeder Linksableitung von $w$ entspricht genau ein Ableitungsbaum und
umgekehrt. Au\3erdem besitzt jedes Wort einer Sprache
eine Linksableitung.
\abs
Es ist m"oglich, da\3 es zu einem Wort mehrere
Linksableitungen gibt, also auch mehrere Ableitungsb"aume. Aus
diesem Grund ist es sinnvoll, folgende Vereinbarung zu treffen:
\absatz
\subheading{Definition}
Eine \kf e \G\ $G$ hei\3t \de{eindeutig} genau dann, wenn f"ur jedes
$w\in L(G)$ nur eine Linksableitung existiert. Andernfalls hei\3t $G$
\de{mehrdeutig}.
\abs
\subheading{Definition}
Eine \kf e Sprache $L\subseteq \Sigma^*$ hei\3t \de{eindeutig} genau
dann, wenn es eine eindeutige \kf e \G\
f"ur $L$ gibt. Andernfalls hei\3t
$L$ \de{mehrdeutig}.
\abs
Es liegt auf der Hand, da\3 Eingabesprachen f"ur den Computer eindeutig
sein sollten, schon allein aus dem Grund, da\3 die semantische
Eindeutigkeit sonst nicht gew"ahrleistet werden kann.
\abschnitt
Zum Abschlu\3 dieses Abschnitts sei darauf hingewiesen, da\3
sich die praktische Anwendung der \kf en \G en von der Theorie
unterscheidet.
Mit \kf en \G en k"onnen weite Teile der Syntax von
Eingabe-- oder Programmiersprachen erfa\3t werden. Allerdings
m"ussen zus"atzlich zu den Regeln des Produk\-tionssystems $P$ noch
weitere Vorschriften gemacht werden, bei denen es sich dann nicht
mehr um \kf e Regeln handelt. Diese Zusatzregeln sind meist n"otig,
um Eingaben zu vermeiden, die semantisch
keinen Sinn ergeben, aber aus den
Produktionsregeln der \G\ ableitbar sind.
\abs
Trotzdem kann mit \kf en \G en zun"achst die "au\3ere
Struktur der Sprachen, die beschrieben werden m"ussen,
festgelegt werden.
Auch der Aufbau der hier erarbeiteten
Eingabesprache f"ur Musikst"ucke, die
zur Automatisierung des Notensatzes benutzt werden soll,
kann mit Hilfe obiger Theorie behandelt werden.
\abschnitt
\abschnitt
\goodbreak
\centerline{\bf 2.2 Die Syntax der Noteneingabesprache in \BNF}
\abschnitt
In diesem Abschnitt soll die Syntax der Noteneingabesprache,
die f"ur eine Anwendung mit dem Computer entwickelt worden ist und
und deshalb zur Klasse der formalen Sprache geh"ort, dargestellt
werden.
Eine formale Sprache kann durch eine \kf e \G\ erzeugt werden, deren
Produktionsregeln den syntaktischen Aufbau der Sprache
beschreiben. Die entwickelte Noteneingabesprache kann ebenfalls
durch eine \kf e \G\ generiert werden.
Zur Beschreibung dieser \kf en \G\ wird aus mehreren Gr"unden
die standardm"a\3ig benutzte
\BNF\ gew"ahlt.
Zum einen bietet die \BNF\ die M"oglichkeit,
die Nichtterminalzeichen mnemotechnisch zu benennen, was die
Erkennung ihrer Bedeutung innerhalb der Sprache und daher
das Verst"andnis erleichtert. Au\3erdem k"onnen die Nichtterminal%-
symbole in den Produktionsregeln von den Terminalsymbolen durch die
die Art ihrer Darstellung unterschieden werden. Die Menge der
Terminal-- bzw. Nichtterminalzeichen m"ussen demnach nicht gesondert
aufgef"uhrt werden, was vor allem bei sehr umfangreichen \G en\
von Vorteil ist.
\abs
Bevor der syntaktische Aufbau der Eingabesprache mit Hilfe der
\BNF\ dargestellt wird, soll diese anhand
eines Beispiels
erl"autert werden.
\abschnitt\abschnitt
\subheading{2.2.1 Die \BNF}
Zur Backus--Naur--Form
geh"ort ein Qua\-dru\-pel
$(N,\Sigma,P,S)$. Die Nichtterminalsymbole
werden mnemotechnisch benannt
und in spitze Klammern eingeschlossen. Statt dem Ableitungspfeil wird
das Zeichen
$::=$ zum Anschreiben der Produktionen benutzt.
Bei Auftreten des Zeichens wird
das Nichtterminalsymbol auf der linken Seite durch die rechte
Seite genauer erkl"art. Wie bei Produktionsregeln von \G en "ublich,
werden bei der \BNF\ die verschiedenen M"oglichkeiten einer
Ableitung f"ur ein Nichtterminalzeichen durch einen senkrechten Strich
voneinander getrennt.
\abs
Zum besseren Verst"andnis  wird nun ein Beispiel f"ur eine
\kf e \G\ in
\BNF\ gegeben und nach ihren Regeln eine Ableitung konstruiert.
\absatz
\subheading{Beispiel}
Sei
$G=(N,\Sigma,P,S)$ eine \kf e \G\ mit\par
$N=\{$\nl{name},\nl{letter},\nl{alphanum},\nl{numeral},$\}$,
$\Sigma=\{\hbox{B,E,I,S,P,L,1,2,3}\}$,
$S=$\nl{name} und $P$ enth"alt die Produktionen
\item{ }
\nl{name}::=\nl{alphanum}\T\nl{alphanum}\nl{name},
\item{ }
\nl{alphanum}::=\nl{letter}\T\nl{numeral},
\item{ }
\nl{letter}::=B\T E\T I\T S\T P\T L,
\item{ }
\nl{numeral}::=1\T2\T3.
\abs
W"orter der von $G$ erzeugten Sprache sind \zB BEISPIEL22, B11LE,
1322 oder BSP1.
Zur Veranschaulichung wird die Linksableitung, dargestellt als
Ableitung und Ableitungsbaum, f"ur das Terminalwort BSP1 konstruiert.
$$\align \nm{name}
&=\nm{alphanum}\nm{name}\\
&=\nm{letter}\nm{name}\\
&={\bf B}\nm{name}\\
&={\bf B}\nm{alphanum}\nm{name}\\
&={\bf B}\nm{letter}\nm{name}\\
&={\bf BS}\nm{name}\\
&={\bf BS}\nm{alphanum}\nm{name}\\
&={\bf BS}\nm{letter}\nm{name}\\
&={\bf BSP}\nm{name}\\
&={\bf BSP}\nm{alphanum}\\
&={\bf BSP}\nm{numeral}\\
&={\bf BSP1}\endalign$$
Der Ableitungsbaum f"ur die Linksableitung hat folgende Gestalt:
\par
{
\def\HB#1{\hbox to 3cm{\hfil$#1$\hfil}}
\def\Hb#1{\hbox to 1.5cm{\hfil$#1$\hfil}}
\centerline{ \HB{\nm{name}} }
\centerline{ \Hb{\swarrow} \Hb{\searrow} }
\centerline{ \HB{\nm{alphanum}} \HB{\nm{name}} }
\centerline{ \Hb{\swarrow} \Hb{} \Hb{\swarrow} \Hb{\searrow} }
\centerline{ \HB{\nm{letter}} \HB{\nm{alphanum}} \HB{\nm{name}} }
\centerline{ \Hb{\swarrow} \Hb{} \Hb{\swarrow} \Hb{}
             \Hb{\swarrow} \Hb{\searrow} }
\centerline{ \HB{\bf B} \HB{\nm{letter}} \HB{\nm{alphanum}} \HB{\nm{name}} }
\centerline{ \Hb{} \Hb{\swarrow} \Hb{} \Hb{\swarrow} \Hb{} \Hb{\swarrow} }
\centerline{ \HB{\bf S} \HB{\nm{letter}} \HB{\nm{alphanum}} }
\centerline{ \Hb{} \Hb{\swarrow} \Hb{} \Hb{\swarrow} }
\centerline{ \HB{\bf P} \HB{\nm{numeral}} }
\centerline{ \Hb{} \Hb{\swarrow} }
\centerline{ \HB{\bf 1} }
}

Im Anschlu\3 daran kann nun
mit Hilfe der \BNF\ die Syntax der Noteneingabesprache
beschrieben werden. Diese wird
zusammen mit
Erl"auterungen zu den Pro\-duktions\-regeln und ihrer Bedeutung
f"ur die Sprache
im n"achsten Abschnitt geliefert.
\abschnitt\abschnitt
\subheading{2.2.2 Syntaxbeschreibung in \BNF}
Die Grammatik, die die Syntax der Eingabesprache beschreibt, ist eine
nach den Gesichtspunkten aus 2.1.3 reduzierte \G. Das bedeutet,
da\3 sie $\epsilon$--frei ist, keine single production enth"alt und da\3
das
Startsymbol nur einmal vorkommt, und zwar auf der linken Seite. Des
weiteren gibt es f"ur jedes Nichtterminalsymbol eine Ableitung, die
zu einem Terminalwort f"uhrt und es gibt keine nicht\-erreichbaren
Nichtterminal-- bzw. Terminalzeichen. Die Elemente der erzeugten Sprache,
also die Terminalw"orter, sind Eingaben f"ur den Computer und
beschreiben ein Musikst"uck.
\absatz
Die Grammatik wird haupts"achlich durch ihre Produktionsregeln
charakterisiert. Dabei wird die Vereinbarung getroffen, da\3 die
Nichtterminal-- und Terminalzeichen durch die Art der Notation in den
Ableitungsregeln kenntlich gemacht werden.
Es soll gelten:
\item{---}
$S=\nm{music input}$
\item{---}
$N$ enth"alt alle metalinguistischen Variablen, das sind die
in spitzen Klammern eingeschlossenen Zeichenfolgen.
\item{---}
$\Sigma$ besteht aus allen fett gedruckten Symbolen. Das k"onnen
auch Zeichenfolgen sein.\abs
Die Menge $P$ der Produktionsregeln, die die Noteneingabesprache
vollst"andig erzeugen, soll im folgenden erl"autert werden.
Allerdings wird aus Gr"unden der besseren Lesbarkeit
darauf verzichtet, die Vorschriften f"ur
Linksableitungen genau zu befolgen.
Bei aufeinanderfolgenden Regeln wird also nicht immer das am weitesten
links stehende Nichtterminalsymbol der vorhergehenden Regel erkl"art.
Stattdessen wird eine Vorgehensweise gew"ahlt, die den Kontext der
einzelnen Produktionsregeln verdeutlichen soll. Dazu werden die Regeln
zu verschiedenen Abschnitten zusammengefa\3t, wobei ein Abschnitt solche
Produktionen f"ur Nichtterminalzeichen enth"alt, die sinngem"a\3
zusammengeh"oren. Diese Methode f"uhrt zu einer Unterteilung in
sechs Abschnitte, die in Anlehnung an die Notation von
Musikst"ucken in Notenschrift entstanden sind.
Bevor auf die Beschreibung der Produktionsregeln eingegangen wird,
soll zun"achst zum Verst"andnis der gew"ahlten Unterteilung
der Aufbau einer Partitur in groben Z"ugen dargestellt werden.
\abs
Zu Anfang eines Musikst"ucks
stehen "ublicherweise Angaben zum Komponisten
und dem Titel, bei Vokalmusik werden diese erg"anzt durch Informationen
"uber den Dichter. Danach wird, der Art des zu notierenden Musikwerks
entsprechend, die Anzahl der erforderlichen Notenliniensysteme
festgelegt, in die der Melodieverlauf der einzelnen Stimmen der
Partitur in Notenschrift geschrieben wird.
Ein Notenliniensystem besteht
aus f"unf Linien, in die die Notenschriftzeichen eingeordnet werden.
Zur Niederschrift mehrstimmiger Musikst"ucke werden mehrere
Notenliniensysteme benutzt, die untereinander geschrieben
und durch eine geschweifte Klammer auf der linken Seite zu sogenannten
Akkoladen zusammengefa\3t werden (siehe \lit{\Ziegen}).
Im folgenden wird statt Notenliniensystem
auch der Begriff System benutzt.
\abs
Ein einzelnes Notenliniensystem kann grob in zwei Teile gegliedert
werden. Der erste Teil enth"alt die Angaben, die f"ur die gesamte
Melodie des Systems G"ultigkeit haben und die zu Beginn jeder
zu dem System geh"orenden Notenzeile stehen. Mit den einleitenden
Angaben wird durch den Notenschl"ussel und die Tonart eine Aussage
"uber die genaue Tonh"ohe der Melodie gemacht, der Rhythmus
und eventuell Tempo und Tonst"arke festgelegt \lit{\Ziegen}.
Der zweite Teil eines Systems beschreibt den Melodieverlauf, der
haupts"achlich mit Hilfe von Noten, Versetzungszeichen, Pausen
und Taktstrichen notiert wird. Zus"atzlich werden f"ur erl"auternde
Angaben Sonderzeichen oder Text benutzt.
In einem einzelnen System d"urfen entweder ein--
oder zweistimmige St"ucke notiert werden, die
f"ur Vokalmusik noch mit einem
Liedtext versehen werden k"onnen.
\par
Bei der Notation des Melodieverlaufs bilden die ben"otigten
Notenschriftzeichen in vielen F"allen wiederum Einheiten,
die dadurch zustande kommen, da\3 die Notenschriftzeichen
miteinander verbunden werden, wie \zB mit Balken oder B"ogen.
Es kann also zwischen einzelnen und kombinierten Notenschriftzeichen
unterschieden werden.
\abs
Die Produktionsregeln der \G\ werden nun entsprechend
der von ihnen erzeugten Sprachelemente aufgegliedert, wobei die oben
beschriebene Strukturierung zugrunde gelegt wird.
Je nachdem, zu welchem Abschnitt sie geh"oren,
beschreiben sie dann folgende Teile einer Partitur:
\item{---}
Eigenschaften, die eine Aussage "uber die Art
des Musikwerks machen,
\item{---}
Melodieverlauf eines Systems,
\item{---}
einleitende Angaben, die f"ur ein
System G"ultigkeit haben,
\item{---}
elementare Notenschriftzeichen,
\item{---}
Notengruppen, die von Notenschriftzeichen gebildet werden, und
\item{---}
sonstige Zeichen und Zeichenketten, wie sie f"ur schriftliche
Anmerkungen ben"otigt werden.
\abs
Ausf"uhrliche Erkl"arungen zu den dort zusammengefa\3ten
Produktionsregeln werden im folgenden gegeben.
Doch zuvor noch eine allgemeine Erkl"arung. Manche Regeln der Eingabe%
sprache legen die Reihenfolge, in der die Angaben gemacht werden
m"ussen, nicht fest.
Diese Daten k"onnen also beliebig aufeinanderfolgen,
wie es zum Beispiel bei \nl{preliminary data} erlaubt ist
(siehe 2.2.2, Abschnitt 1).
In solchen F"allen wird das "Ubereinkommen getroffen, da\3 bei
mehrfachen sich eventuell widersprechenden Angaben mit gleichem
Informationsgehalt die zuletzt eingegeben gilt. F"ur Linksableitungen
ist das die, die am weitesten rechts steht.
\abschnitt
\subheading{1) Beschreibung der Art der Partitur}\abs
\def\T{\ |\ }
Dieser Abschnitt enth"alt die Produktionsregeln,
mit denen
die Art des Musikst"ucks bestimmt werden kann und die die
Notenliniensysteme erzeugen, in die anschlie\3end der Melodieverlauf
eingetragen wird.
Durch einige der hier aufgef"uhrten Regeln wird
die Anzahl der zur Notation des Musikst"ucks ben"otigten Systeme
und der Inhalt eines Systems
festgelegt. Andere bieten die M"oglichkeit, die Angaben, die f"ur
die Dauer eines Systems gelten und zu Beginn jeder Zeile des Systems
notiert werden, zu erzeugen. Die Regeln, die zur Generierung der
"Uberschriften einer Partitur ben"otigt werden, sind ebenfalls
in diesem Abschnitt aufgef"uhrt.
Anfang und Ende eines Musikst"ucks m"ussen besonders gekennzeichnet
werden. Das ist vor allem deshalb n"otig, um
eine Noteneingabe innerhalb einer normalen Texteingabe von dieser
abzuheben. Damit k"onnen Partituren gemeinsam
mit Texten eingegeben und verarbeitet werden.
\abs
{\tabskip0pt plus1fill
\halign to\hsize{\hfill$#{}$%
\tabskip0pt&$#$\hfill\tabskip0pt plus 1fill\cr
\nm{music input} ::=& \nm{begin} \nm{piece} \nm{end}\cr
\nm{begin} ::=& {\hbox{\bf!!}} \T \bs{\bf beginsong}\cr
\nm{piece} ::=& \nm{several system} \T \nm{system} \T \nm{heading}
\nm{piece}\cr
\nm{several system} ::=& \bs{\bf system}
       \lk\nm{system}\rk \T\cr
&\bs{\bf system}
       \lk\nm{system}\rk
\nm{several system}\cr
\nm{system} ::=& \nm{block} \T \nm{preliminary data} \nm{block}\cr
\nm{block} ::=& \nm{melody} \T \nm{two} \T \nm{vocal}\cr
\nm{two} ::=& \bs{\bf two}\lk\nm{melody}\rk \lk%
    \nm{melody}\rk\cr
\nm{vocal} ::=& \bs{\bf vocal}\lk\nm{melody}\rk \lk%
   \nm{songtext}\rk \T
\bs{\bf vocal}\lk\nm{two}\rk \lk%
   \nm{songtext}\rk\cr
\nm{preliminary data} ::=& \nm{voice} \T \nm{clef} \T \nm{signature} \T
\nm{metre} \T
    \nm{explanation} \T \cr
&\nm{preliminary data} \nm{preliminary data}\cr
\nm{heading} ::=& \bs{\bf title}\lk\nm{text}\rk \T
               \bs{\bf poet}\lk\nm{text}\rk \T
                    \bs{\bf composer}\lk\nm{text}\rk\cr
\nm{end} ::=& {\hbox{\bf!!}} \T \bs{\bf endsong}\cr
}}
\abs
Die Eingabe eines Musikst"ucks beginnt und endet mit \nl{begin} bzw.
\nl{end}, wobei entweder das Terminalzeichen {\bf!!} oder
\bs{\bf beginsong} bzw. \bs{\bf endsong} benutzt werden kann.
\par
Mit \nl{piece} kann entschieden werden, ob ein System oder mehrere
Systeme eingegeben werden sollen. Falls mehrere Systeme eingegeben
werden, so werden diese hintereinander eingegeben. Dabei zeigt das
Terminalwort \bs{\bf system} den Beginn eines weiteren Systems an.
Zus"atzlich besteht mit \nl{heading} die M"oglichkeit, "Uberschriften
einzugeben.\par
In einem System \nl{system} k"onnen unterschiedliche St"ucke notiert
werden. Diese Wahl findet mit \nl{block} statt.
Einerseits kann es sich bei der Eingabe um eine einstimmige
Melodie \nl{melody} handeln.
Eine andere M"oglichkeit ist, da\3 zwei Stimmen in
einem System dargestellt werden. Dazu wird \nl{two} benutzt. Die
dritte M"oglichkeit, n"amlich die Eingabe eines Liedes, geschieht
mit \nl{vocal}. \par
Einem System k"onnen durch \nl{preliminary data} einleitende
Angaben wie Instrumentenstimmen, Notenschl"ussel, Tonart, Taktart
und Tempoangaben vorangestellt sein.
\abschnitt
\subheading{2) Beschreibung des Melodieverlaufs}
\abs
Die folgenden Produktionsregeln erzeugen den
Melodieverlauf jeweils einer Stimme und den eventuell vorhandenen
Liedtext.
Die Melodie wird charakterisiert durch einfache Notenschriftzeichen wie
Noten, Pausen,
Vorzeichen und Taktunterteilungen. Die Regeln f"ur diese einfachen
Zeichen werden in 4) erl"autert.
Diese Zeichen k"onnen je nach Anordnung
in Gruppen zusammengefa\3t werden, wie es in Abschnitt 5) beschrieben
wird. Zus"atzlich kann eine Melodie
schriftliche Erl"auterungen in Form eines Textes enthalten.
\abs
{\tabskip0pt plus1fill
\halign to\hsize{\hfill$#{}$%
\tabskip0pt&$#$\hfill\tabskip0pt plus 1fill\cr
\nm{melody} ::=& \nm{primitives} \T \nm{group} \T \nm{change} \T
     \nm{explanation}\cr
\nm{primitives} ::=& \nm{note} \T  \nm{rest} \T
\nm{caesura} \T \nm{barline} \T\cr
     & \nm{primitives} \nm{primitives}\cr
\nm{group} ::=& \nm{simple nested group} \T
       \nm{mismatched group} \T \cr
       & \nm{articulation group} \T \nm{group} \nm{group}\cr
\nm{change} ::=& \nm{clef} \T \nm{signature} \T \nm{metre} \T \nm{change}
       \nm{change}\cr
\nm{songtext} ::=& \nm{text} \T \nm{place}\nm{text} \T
\nm{omission} \T
\nm{songtext} \nm{songtext}\cr
\nm{articulation group} ::=
& \bs{\bf stac} \nm{melody} \bs{\bf noaccent} \T\cr
& \bs{\bf staccatissimo} \nm{melody} \bs{\bf noaccent} \T\cr
& \bs{\bf tenuto} \nm{melody} \bs{\bf noaccent}\cr
}}
\abs
Der Melodieverlauf wird in \nl{melody} beschrieben. Die Melodie ist eine
Anordnung von \nl{primitives}, \nl{group},
\nl{change} und \nl{explanation}.
\par
Dabei handelt es sich bei \nl{primitives} um die Grundbausteine wie
Noten, Pausen, Atemzeichen und Taktstriche.
\par
In \nl{group} werden alle Notengruppen beschrieben. Das sind
\nl{primitives}, die mit Balken, Bogen oder Notenh"alse zu einer
Einheit zusammengefa\3t werden. Unterschieden wird zwischen
\nl{simple nested group}, \nl{mismatched group} und
\nl{articulation group}.
\nl{simple nested group}
ist eine Gruppe, in der die \nl{primi\-tives} entweder
mit einem Balken oder einem Bogen oder einem Notenhals verbunden sind.
Gleichzeitig ist die
M"oglichkeit gegeben, solche Gruppen ineinanderzuschachteln.
\par
Bei einer Noteneingabe kommt es sehr oft vor, da\3 solche Gruppen nicht
``korrekt'' ineinandergeschachtelt sind, \dh es k"onnen
"Uberschneidungen vorkommen.
Eine Gruppe kann innerhalb
einer anderen aufh"oren, obwohl sie au\3erhalb dieser Gruppe
begonnen wurde. Dieser Fall ist mit \nl{mismatched group} abgedeckt.
Auf diese beiden
Notengruppen wird weiter unten in 5) genauer eingegangen.
\par
Mit \nl{articulation group} k"onnen Noten mit Akzentuierungen
versehen werden. Dabei zeigen die Terminalw"orter
\bs{\bf stac}, \bs{\bf staccatissimo} und \bs{\bf tenuto} jeweils
den Beginn, das Terminalwort \bs{\bf noaccent} das Ende der
Gruppe an. F"ur jede Note, die innerhalb dieser Gruppe vorkommt, gilt
dann die Akzentuierung.
\par
Weiterhin kann w"ahrend des Melodieverlaufs ein Wechsel von
Takt-- bzw. Tonart oder ein "Ubergang zu einem anderen Notenschl"ussel
erfolgen. Dies wird mit \nl{change} bewerkstelligt.\par
\nl{songtext} tritt in der Ableitung nur auf,
wenn mit \nl{vocal} Vokalmusik
eingegeben werden soll. Solch eine Textunterlage besteht aus W"ortern und
dem Auslassungszeichen \nl{omission}. Dieses Zeichen ist n"otig,
weil jeder Note eine Textsilbe zugeordnet werden soll. Das Auslassungs%
zeichen wird benutzt, wenn es zu einer Note keinen Text gibt.
Die Silben werden durch Leerzeichen voneinander getrennt und
k"onnen mit einer Positionsangabe versehen werden,
die allerdings nur f"ur
die folgende Silbe gilt.
Falls
mehrere Noten f"ur eine Silbe ben"otigt werden, so m"ussen nach der
Silbe entsprechend der Anzahl der Noten diese Auslassungszeichen
eingef"ugt werden.\par
\abschnitt
\subheading{3) Beschreibung der einleitenden Angaben,
zus"atzliche Anmerkungen}
\abs
Dieser Teil der Menge der Produktionsregeln erzeugt die
oben erw"ahnten einleitenden Angaben, die f"ur
das gesamte System gelten und zu Beginn jeder Zeile eines Systems
stehen.
Dazu geh"oren Instrumentenstimme,
Notenschl"ussel, Vorzeichnung, Taktart, Tempo und Tonst"arke.
\abs
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\tabskip0pt plus1fill
\halign to\hsize{\hfill$#{}$%
\tabskip0pt&$#$\hfill\tabskip0pt plus 1fill\cr
\nm{voice} ::=& \bs{\bf voice}\lk\nm{text}\rk\cr
\nm{clef} ::=& \bs{\bf treble} \T \bs{\bf bass} \T \bs{\bf baritone} \T
          \bs{\bf alto} \T \bs{\bf mezzo} \T \bs{\bf soprano} \T
          \bs{\bf tenor} \cr
\nm{signature} ::=& \bs{\bf signature}\lk\nm{several accid}\rk \T
        \nm{sign}\cr
\nm{several accid} ::=& \nm{accid} \T \nm{accid} \nm{several accid}\cr
\nm{accid} ::=& \nm{accidental} \nm{simple note} \T
\nm{octave} \nm{accidental}
   \nm{simple note} \T \cr
   &\nm{accidental} \nm{octave} \nm{simple note}\cr
\nm{sign} ::=&
\bs{\bf C} \T \bs{\bf G} \T \bs{\bf D} \T \bs{\bf A} \T \bs{\bf E}
 \T \bs{\bf H} \T \bs{\bf Fis} \T
 \bs{\bf Cis} \T \cr
 &\bs{\bf a} \T \bs{\bf e} \T
\bs{\bf h} \T \bs{\bf fis} \T
\bs{\bf cis} \T \bs{\bf gis} \T \bs{\bf dis} \T
\bs{\bf ais} \T \cr
&\bs{\bf Ces} \T
\bs{\bf Ges} \T \bs{\bf Des} \T \bs{\bf As} \T
 \bs{\bf Es} \T \bs{\bf B} \T
 \bs{\bf F} \T \cr
 &\bs{\bf as} \T \bs{\bf es} \T
 \bs{\bf b} \T \bs{\bf f} \T \bs{\bf c} \T \bs{\bf g} \T \bs{\bf d}\cr
\nm{metre} ::=& \bs{\bf meter}\lk\nm{number}\slash\nm{number}\rk \T
\bs{\bf allabreve}
   \T \bs{\bf hC} \T \bs{\bf dC}\cr
\nm{explanation} ::=& \bs{\bf text}\lk\nm{text}\rk \T
           \bs{\bf text}\lk\nm{place} \nm{text}\rk \T\cr
           &\nm{recital} \T
           \lk\nm{place} \nm{recital}\rk \cr
\nm{place} ::=& \bs{\bf\us} \T
\bs{\bf\us l} \T \bs{\bf\us c} \T \bs{\bf\us r} \T
\bs{\bf\us n} \T \bs{\bf\us v} \T \bs{\hbox{\bf\os\ }} \T
           \bs{\hbox{\bf\os\ l}} \T
           \bs{\hbox{\bf\os\ c}} \T
\bs{\hbox{\bf\os\ r}} \T \bs{\hbox{\bf\os\ n}}\cr
\nm{recital} ::=&
\bs{\bf dacapo} \T \bs{\bf dalsegno} \T
 \bs{\bf unisono} \T \bs{\bf cantusfirmus} \T
 \bs{\bf crescendo} \T\cr
& \bs{\bf decrescendo} \T \bs{\bf diminuendo} \T
 \bs{\bf forte} \T \bs{\bf fortissimo} \T\cr
& \bs{\bf fortissimoposs} \T \bs{\bf mezzoforte} \T
 \bs{\bf mezzopiano} \T \bs{\bf piano} \T\cr
& \bs{\bf pianissimo} \T
 \bs{\bf pianissimoposs} \T
 \bs{\bf fortepiano} \T \bs{\bf forzato} \T\cr
& \bs{\bf rinforzando} \T \bs{\bf sforzato} \T
 \bs{\bf sforz} \T \bs{\bf decr} \T \bs{\bf rallentando} \T\cr
& \bs{\bf ritardando} \T \bs{\bf ritenuto} \T
 \bs{\bf tr} \T \bs{\bf staccato} \T
\bs{\bf fine} \T
 \bs{\bf tacet}
\cr}}
\abs
Einleitende Angaben, die zu einem System gemacht werden k"onnen,
werden in \nl{preliminary data} beschrieben. Die Instrumentenstimme
kann mit \nl{voice} durch das Terminalzeichen \bs{\bf voice} eingegeben
werden, wobei auf das Schl"usselwort in Klammern der Name der
Instrumentenstimme folgen mu\3. \par
Eine andere m"ogliche Angabe betrifft den Notenschl"ussel. Dabei
f"uhrt die Variable \nl{clef} zu einem Terminalzeichen, denn die
Notenschl"ussel werden durch Schl"usselw"orter angegeben.\par
In der Regel f"ur \nl{signature} wird erkl"art, wie die Tonart eingegeben
werden kann. Daf"ur gibt es zwei M"oglichkeiten. Entweder
wird die Tonart durch ein Schl"usselwort aus der Regel f"ur
\nl{sign} beschrieben oder durch die expliziten Angaben der
jeweiligen Vorzeichen. Dies geschieht durch die Eingabe der Tonh"ohe,
auf die das Vorzeichen Einflu\3 nehmen soll, und dem gew"unschten
Vorzeichen.\par
Die Taktart \nl{metre} wird durch das Schl"usselwort \bs{\bf meter} und
der Taktart eingegeben. Abk"urzende Notationen f"ur
Taktarten aus der Mensuralnotation wie allabreve k"onnen durch
die entsprechenden Schl"usselw"orter
erreicht werden.\par
Die letzte einleitende Angabe, die m"oglich ist, kann eine
schriftliche Erkl"arung \zB zum Tempo oder der Tonst"arke
des  Musikst"ucks sein. Dazu wird in \nl{explanation} die
erl"auternde Angabe in geschweifte Klammern geschrieben, der das
Schl"usselwort \bs{\bf text} vorangeht. Mit \nl{place} kann
bestimmt werden, wohin der Text geschrieben werden soll: ober-- oder
unterhalb des Notenliniensystems (\bs{\bf\os\ }, \bs{\bf\us}),
links-- oder rechtsb"undig ({\bf l, r}),
zentriert ({\bf c})
oder so, da\3 die Breite des darunterstehenden
Notenschriftzeichens
der Breite des schriftlichen Hinweises nicht angepa\3t wird ({\bf n}).
Anmerkungen, die unterhalb der Notenzeile stehen, stehen eigentlich
in der f"ur Liedtexte vorgesehenen Zeile. Mit {\bf v} k"onnen sie
direkt unter die Notenzeile gesetzt werden.
\par
Der Gebrauch von \nl{recital} bietet die M"oglichkeit, oft vorkommende
Vortragsbezeichnungen oder Angaben zum Tempo bzw. zur Betonung
mit Hilfe einer Kontrollsequenz einzuf"ugen. Die genaue
Erkl"arung, durch was diese Kontrollw"orter bei der Ausgabe
ersetzt werden, kann in 3.4 gefunden werden.
\abschnitt
\subheading{4) Beschreibung der Grundbausteine f"ur einen Takt}\abs
Mit den folgenden Produktionsregeln k"onnen die elementaren
Zeichen der Notenschrift wie Noten, Pausen, Versetzungszeichen
und Taktstriche generiert werden.
\abs
{\tabskip0pt plus1fill
\halign to\hsize{\hfill$#{}$%
\tabskip0pt&$#$\hfill\tabskip0pt plus 1fill\cr
\nm{note} ::=& \nm{simple note} \T
\nm{note specification} \nm{simple note}\cr
\nm{simple note} ::=& {\bf c} \T {\bf d} \T {\bf e} \T {\bf f}
\T {\bf g} \T {\bf a} \T {\bf h} \cr
\nm{note specification} ::=&
\nm{octave} \T \nm{accidental} \T
\nm{duration} \T\cr
&\nm{punctuation} \T
           \nm{note specification}
           \nm{note specification}
\cr
\nm{octave} ::=& {\hbox{\bf,}} \T {\hbox{\bf{,,}}} \T
{\hbox{\bf{,,,}}} \T {\hbox{\bf `}}
\T {\hbox{\bf{`}{`}}} \T
{\hbox{\bf{{`}{`}{`}}}} \T
{\hbox{\bf{{`}{`}{`}{`}}}} \cr
\nm{accidental} ::=& {\bf x} \T {\bf{xx}} \T {\bf{b}} \T {\bf{bb}} \T
{\bf{n}}\cr
\nm{duration} ::=& {\bf 1} \T
{\bf 2} \T {\bf 4} \T {\bf 8} \T {\bf 6} \T {\bf 3} \T {\bf 5}
\T {\bf 7} \cr
\nm{punctuation} ::=& \nm{dot} \T
\nm{dot} \nm{punctuation} \cr
\nm{dot} ::=& {\hbox{\bf.}}\cr
\nm{rest} ::=& \nm{rest specification} {\bf p} \T {\bf{p}} \cr
\nm{rest specification} ::=& \nm{duration} \T
\nm{punctuation} \T \cr
&\nm{rest specification}
                   \nm{rest specification}\cr
\nm{caesura} ::=& {\bf 0p}\cr
\nm{barline} ::=& \strich\ \T\ \strich\strich\ \T
\ \gleich\ \T\ \strich\strich\dpkt\ \T
\ \dpkt\strich\strich\ \T\ \dpkt\strich\strich\dpkt
\cr}}
\abs
Eine Note, dargestellt
durch \nl{note}, besteht entweder aus \nl{simple note} oder
\nl{simple note} versehen mit der \nl{note specification}. Dabei
gibt \nl{simple note} den Notennamen an, \nl{note specification} n"ahere
Angaben zur Oktavlage, Vorzeichen und Tondauer.
Die Oktave kann mit einem der m"oglichen Terminalzeichen f"ur
\nl{octave} eingegeben werden und das Vorzeichen wird durch die
Anwendung der Regel f"ur
\nl{accidental} beschrieben. Die Tondauer ist eine der m"oglichen
Produktionen f"ur \nl{duration}, eventuell zusammen mit einer
Punktierung, die mit \nl{punctuation} dargestellt wird.
\par
Pausen werden mit \nl{rest} analog zu \nl{note} abgeleitet. Das
Atemzeichen \nl{caesura}
gilt als Pause mit der Dauer 0, da es keinen Einflu\3 auf
den Takt hat. \par
Zur Einteilung eines Taktes werden noch die verschiedenen Taktstriche
ben"otigt. Die Terminalzeichen daf"ur werden durch Anwendung der
Regel f"ur \nl{barline} erreicht.
\abschnitt
\subheading{5) Beschreibung der Notengruppen}\abs
Die hier beschriebenen Regeln generieren alle Arten von
Notengruppierungen. Auf diese Weise werden die
einfachen Notenschriftzeichen wie Noten, Pausen und Vorzeichen,
die in Abschnitt 4) beschrieben werden,
zu Einheiten zusammengefa\3t.
Das ist \zB der Fall bei Verbalkungen und Ligaturen.
\abs
{\tabskip0pt plus1fill
\halign to\hsize{\hfill$#{}$%
\tabskip0pt&$#$\hfill\tabskip0pt plus 1fill\cr
\nm{simple nested group} ::=& \bs{\bf beam}\lk%
\nm{nested group}\rk \T
                         \bs{\bf slur}\lk\nm{nested group}\rk \T\cr
                 &\bs{\bf cresc}\lk\nm{nested group}\rk \T
                   \bs{\bf descresc}\lk\nm{nested group}\rk\cr
                 &\bs{\bf chord}\lk\nm{several notes}\rk \cr
\nm{nested group} ::=& \nm{primitives} \T \nm{explanation} \T
\nm{change} \T \cr
&\nm{simple nested group} \T \nm{articulation group} \T\cr
&\nm{nested group} \nm{nested group}\cr
\nm{mismatched group} ::=& \bs{\bf group}\lk\nm{primitives}\rk
 \nm{special group} \T\cr
 &\bs{\bf group}\lk\nm{chord}\rk \nm{special group}\cr
\nm{special group} ::=& \bs{\bf gslur}\lk\nm{sign number}\rk \T
                         \bs{\bf gbeam}\lk\nm{sign number}\rk \cr
                         &\bs{\bf gcresc}\lk\nm{sign number}\rk \T
                         \bs{\bf gdecresc}\lk\nm{sign number}\rk \cr
                         &\nm{special group}\nm{special group}\cr
\nm{chord} ::=& \bs{\bf chord}\lk%
\nm{several notes}\rk \T \nm{chord} \nm{chord}\cr
\nm{several notes} ::=& \nm{note} \T \nm{note} \nm{several notes}\cr
\nm{sign number} ::=& \nm{number} {\hbox{\bf-}} \nm{number} \T
\nm{sign number} {\bf,} \nm{number} {\hbox{\bf-}} \nm{number}
\cr}}
\abs
Die Unterschiede der einzelnen Notengruppen wurden schon in 2)
erl"autert. In \nl{simple nested group}
gibt das jeweilige Schl"usselwort an, um
welche Art von Gruppe es sich handelt. \bs{\bf beam} gibt Anweisung,
die folgende \nl{nested group} zu verbalken, \bs{\bf slur} spannt einen
Bogen "uber die Gruppe, \bs{\bf cresc} bzw. \bs{\bf decresc} steht
f"ur crescendo bzw. decrescendo. Bis auf \nl{chord} k"onnen die
Gruppen von \nl{primitives} gebildet werden. Mit \nl{chord}
werden die in \nl{several notes} notierten Noten zu einem
Akkord verbunden. Au\3er Noten d"urfen in \nl{several notes}
keine anderen Zeichen vorkommen.
Au\3erdem erlaubt es
das Nichtterminalsymbol \nl{simple nested group}, die eben
beschriebenen Gruppen ineinanderzuschachteln. Diese Regel ergibt aber
nur ``korrekt'' geschachtelte Gruppen, also solche, die sich
nicht gegenseitig "uberlappen.
Ein Beispiel f"ur eine Eingabe mit \nl{simple nested group} w"are
$$\hbox{\bf \ks{slur}\{\ks{beam} \{8`a bh n{`}{`}c\}\}}\;.$$
\par
\vskip-0.5cm
{\universal
\hsize9.5cm
\parindent6cm
\nointerlineskip\beginsong
\vio\C
\group{\\{\a3}\\{\b4\a4}\\{\n5\a5}}{\\{3}\\{4}\\{5}}\lbeam13\uslur13\go
\hfill\hbox{}\endsong}
\vskip-0.6cm\abs
Falls dies nicht der Fall ist,
mu\3 die Gruppe mit Hilfe des Nichtterminalzeichens
\nl{mismatched group} hergeleitet werden. Daf"ur stehen hinter dem
Schl"usselwort \bs{\bf group} die \nl{primitives},
die die Gruppe bilden.
Diese Angaben werden gefolgt von der Variablen \nl{special group}.
Sie gibt durch die Stellennummer der Notenschriftzeichen
an, welche Zeichen wie
verbunden werden:
$$\hbox{\ks{group}{\bf \{b4.`a 8a g ba\} \ks{gslur}\{1-2\}
\ks{gbeam}\{2-4\}}}$$
\vskip-.5cm
\par
{\hsize10cm\parindent5.5cm
\universal\nointerlineskip\beginsong
\vio\C%
\group{\\{\b3\v3\.1}\\{\a3}\\{\a2}\\{\b3\a3}}
{\\{3}\\{3}\\{2}\\{3}}\ubeam24\lslur12\go
\hfill\hbox{}\endsong}
\vskip-0.6cm\abs
\abschnitt
\subheading{6) Zeichen und Zeichenketten}\abs
Abschnitt 6) enth"alt die Produktionsregeln, die zur Erzeugung
der schriftlichen Er\-l"au\-terungen notwendig sind. Schriftlich bedeutet
hier, da\3 es sich um Angaben handelt, die mit Hilfe von
normalen Text gemacht werden.
\abs
{\tabskip0pt plus1fill
\halign to\hsize{\hfill$#{}$%
\tabskip0pt&$#$\hfill\tabskip0pt plus 1fill\cr
\nm{word} ::=& \nm{letter} \T \nm{digit} \T \nm{letter} \nm{word} \T
\nm{digit} \nm{word}\cr
\nm{letter} ::=& {\bf a} \T
{\bf b} \T {\bf c} \T {\bf d} \T {\bf e} \T {\bf f} \T {\bf g}
\T {\bf h} \T {\bf i} \T {\bf j} \T {\bf k} \T {\bf l}
\T {\bf m} \cr
&\T {\bf n} \T {\bf o} \T {\bf p} \T {\bf q} \T {\bf r}
\T {\bf s} \T {\bf t} \T {\bf u} \T {\bf v} \T {\bf w} \T {\bf x}
\T {\bf y} \T {\bf z} \T\cr
&{\bf A} \T {\bf B} \T {\bf C} \T {\bf D}
\T {\bf E} \T {\bf F} \T {\bf G} \T {\bf H} \T {\bf I} \T {\bf J}
\T {\bf K} \T {\bf L} \T {\bf M} \T\cr
&{\bf N} \T {\bf O} \T {\bf P}
\T {\bf Q} \T {\bf R} \T {\bf S} \T {\bf T} \T {\bf U} \T {\bf V}
\T {\bf W} \T {\bf X} \T {\bf Y} \T {\bf Z}\cr
\nm{digit} ::=& {\bf 0} \T {\bf 1} \T
{\bf 2} \T {\bf 3} \T {\bf 4} \T {\bf 5} \T {\bf 6} \T {\bf 7}
\T {\bf 8} \T {\bf 9}\cr
\nm{number} ::=& \nm{digit} \T \nm{digit} \nm{number}\cr
\nm{text} ::=& \nm{word} \T \nm{special character} \T
              \nm{text} \nm{text}\cr
\nm{special character} ::=&\ {\hbox{\bf,}}\ \T\ {\hbox{\bf;}}\ \T
         \ {\hbox{\bf.}}\ \T\ {\hbox{\bf!}}\ \T
          \ {\hbox{\bf?}}\ \T\ {\blank}\ \T
         \ {\hbox{\bf*}}\ \T\ {\hbox{\bf+}}\ \T
         \ {\hbox{\bf-}}\ \T\ {\hbox{\bf`}}\ \T
         \ {\hbox{\bf'}}\ \T\ \bs\ \T\ {\hbox{\~\ }}\cr
\nm{omission} ::=&\slash
\cr}}
\abs
W"orter, die in der Syntax mit \nl{word} bezeichnet werden, sind
eine Folge von Buchstaben und Zahlen. \nl{number} beschreibt eine
beliebige positive Zahl.\par
Aus \nl{word} und \nl{special character} wird eine beliebige
Zeichenkette \nl{text} gebildet.\par
Die Bedeutung von \nl{omission}, dem Auslassungszeichen, wurde
in 2) schon erw"ahnt, als \nl{songtext} erkl"art wurde.
\abschnitt
%
%
Eine
andere gebr"auchliche Methode zur Darstellung von Produktionsregeln
einer \kf en \G\ sind sogenannte Syntaxdiagramme. Aus diesem Grund
wird in
Anhang C
das Regelsystem der \G\ f"ur die Noteneingabesprache
der Vollst"andigkeit halber mit Hilfe der Syntaxdiagramme
veranschaulicht.
\abschnitt
\abschnitt
Nachdem in diesem Kapitel die Syntax der Noteneingabesprache mit Hilfe
einer \kf en \G\ beschrieben wurde, wird nun ein Leitfaden f"ur die
Anwendung der Eingabesprache gegeben.
In dieser Anleitung wird die Bedeutung und Handhabung der
Terminalsymbole erl"autert. Dabei wird es sich nicht vermeiden lassen,
da\3 zu den \kf en Regeln der Syntaxbeschreibung einige Anweisungen
hinzukommen, die nicht mehr \kf\ sind. Diese sind n"otig, um
Mehrdeutigkeiten oder Fehler bei der "Ubersetzung auszuschlie\3en. Das
Thema des n"achsten Kapitels ist also weniger die Syntax als die
Semantik der Eingabesprache.
\vfill\eject
